Properti dari Fungsi Produksi Homogen Linier

Mari kita anggap bahwa suatu perusahaan menggunakan dua input, tenaga kerja (L) dan modal (K), untuk menghasilkan output (Q), dan fungsi produksinya adalah

Q = f (L, K) (8.122)

[di mana L dan K adalah jumlah yang digunakan untuk input tenaga kerja (L) dan modal (K) dan Q adalah jumlah output yang dihasilkan]

Fungsi (8.122) homogen dari derajat n jika kita miliki

f (tL, tK) = tn f (L, K) = tnQ (8.123)

di mana t adalah bilangan real positif.

Dalam teori produksi, konsep fungsi produksi homogen derajat satu [n = 1 in (8, 123)] banyak digunakan. Fungsi-fungsi ini juga disebut fungsi produksi homogen 'linier'.

Jika fungsi produksi (8.122) homogen secara linear, maka kita akan memilikinya

f (tL, tK) = tf (L, K) = tQ (8.124)

Dari (8.124), jelas bahwa homogenitas linier berarti bahwa peningkatan semua input (variabel independen) oleh faktor t akan selalu meningkatkan output (nilai fungsi) persis oleh faktor t. Asumsi homogenitas linier, oleh karena itu, akan sama dengan asumsi pengembalian konstan ke skala dalam teori ekonomi.

Mari kita bahas di bawah ini sifat-sifat fungsi produksi yang homogen secara linier seperti yang didefinisikan oleh (8.122) dan (8.124).

Properti I:

Rata-rata (fisik) produk tenaga kerja (APL) dan modal (AP K ) dapat dinyatakan sebagai fungsi rasio modal-tenaga kerja (K / L).

Untuk membuktikan ini, mari kita gandakan L dan K dalam (8.122) dengan faktor t = 1 / L. Maka karena homogenitas linier, kita akan punya

f (L / L, K / L) = Q / L

⇒ f [(1, K / L)] = Q / L

⇒ g (K / L) = AP L (8.125)

Demikian pula, kita akan memilikinya

Q / K = h (L / K)

⇒ APK = h (L / K) (8.126)

Persamaan. (8.125) dan (8.126) memberi kita bahwa jika L dan K ditingkatkan oleh perusahaan dalam proporsi yang sama, menjaga rasio K / L konstan, maka sama sekali tidak ada perubahan dalam AP L dan AP K, yaitu, AP Fungsi L dan AP K adalah homogen derajat nol dalam L dan K.

Properti II:

Produk fisik marjinal, MP L dan MP K, juga merupakan fungsi dari rasio K / L.

Kami dapat menetapkan ini dengan cara berikut.

Q = Lg (K / L) [dari (8.125)] (8.127)

Karena itu, kita punya

MP L = ∂Q / ∂L = g (K / L) + L.g '(K / L) (- K / L2)

= g (K / L) - (K / L) g '(K / L)

= Ψ (K / L)

Juga, dari (8.127), kami punya

MPK = ∂Q / ∂K = Lg '(K / L) (1 / L)

= g '(K / L)

(8.128) dan (8.129) mendirikan Properti II. Artinya, jika fungsi produksi homogen dari derajat satu, maka MP L dan MP K adalah fungsi homogen K dan L derajat nol.

Properti III:

Untuk fungsi produksi homogen derajat satu seperti yang diberikan oleh (8.122) dan (8.124) yang kita miliki

Kami dapat membangun properti ini dengan cara berikut. Dari (8.128) dan (8.129), kami punya

L (∂Q / ∂L) + K (∂Q / ∂K) = Q

Kami dapat membangun properti ini dengan cara berikut.

Dari (8.128) dan (8.129), kami punya

L (∂Q / ∂L) + K (∂Q / ∂K)

= Lg (K / L) –L (K / L) g '(K / L) + Kg' (K / L)

= Lg (K / L) - Kg '(K / L) + Kg' (K / L)

= Lg (K / L) = Q [dari (8.127)] (8.130)

(8.130) menetapkan properti III, juga dikenal sebagai Teorema Euler.

Properti ini juga dapat dinyatakan seperti ini. Jika input tenaga kerja (L) dan modal (K) dibayarkan pada tingkat produk marjinal masing-masing (∂Q / ∂L dan ∂Q / ∂K) maka total produk (Q) akan habis, asalkan fungsi produksi adalah homogen dari tingkat satu.

Properti IV:

MRTS dalam hal fungsi produksi yang homogen (dengan derajat apa pun n) adalah fungsi dari rasio K / L, dan jalur ekspansi untuk fungsi tersebut akan menjadi garis lurus.

Dari (8.122) dan (8.123), kami miliki

Q = f (L, K)

dan f (tL, tK) = tnQ.

di mana t adalah bilangan real positif.

Karena (8.122) telah diasumsikan sebagai fungsi produksi homogen derajat n, kita telah mendapatkan (8.123).

Yaitu, di sepanjang jalur ekspansi MRTS L, K = φ (K / L) = konstan, yaitu, di sepanjang jalur ini rasio adalah konstan yang menyiratkan bahwa jalur ekspansi adalah garis lurus dari titik asal. Karenanya, Properti IV didirikan. Dapat dicatat bahwa jika kita menempatkan n = 1 dalam perhitungan di atas, kita akan dapat membangun properti ketika fungsi produksi homogen secara linier.

Mari kita perhatikan di sini bahwa jalur ekspansi perusahaan dan garis punggungan semua isoklin menurut definisi, dan persamaan isoklin secara umum, adalah

Juga, untuk isocline tertentu, yaitu, garis kaku atas dan bawah, persamaannya masing-masing

Dan untuk dua isoclines tertentu lainnya, yaitu, garis punggungan atas dan bawah, persamaannya masing-masing

Oleh karena itu, argumen yang telah kami kemukakan di atas untuk menetapkan bahwa jalur ekspansi dari fungsi produksi yang homogen (dalam derajat apa pun), adalah garis lurus dapat diterapkan juga untuk memberi kita bahwa di bawah fungsi produksi seperti itu, isoclines, secara umum, dan garis punggungan, khususnya, semuanya garis lurus dari asalnya.

Properti V:

Jika fungsi produksi perusahaan adalah linier homogen, maka pengetahuan tentang posisi salah satu isokuan akan memungkinkan kita untuk memperoleh seluruh peta IQ perusahaan. Kami dapat membangun properti ini dengan bantuan Gambar 8.25.

Dalam gambar ini, mari kita anggap IQ 1 adalah isoquant dari perusahaan untuk Q = Q 1 dan OE dan OF adalah dua sinar dari asal. Kurva IQ 1 telah memenuhi sinar ini pada titik A 1 dan B 1 masing-masing. Mari kita anggap bahwa perusahaan ingin memiliki IQ untuk Q = 2Q 1 . Ini dapat dicapai dengan cara berikut.

Jika perusahaan bergerak di sepanjang sinar OE dari titik A 1 ke A 2 sedemikian rupa sehingga OA 2 = 2. OA 1, maka pada A 2 keduanya jumlah input akan menjadi dua kali lipat dibandingkan dengan A 1, dan, oleh karena itu, jika produksi fungsi homogen dari tingkat satu, kuantitas output perusahaan juga akan berlipat ganda. Yaitu, jika pada A 1, output adalah Q 1, maka pada A 2, output akan menjadi 2Q 1 .

Demikian pula, jika sepanjang sinar OF, kita miliki, OB 2 = 2. OB 1 maka output dari Q1 pada B1 akan menjadi dua kali lipat dan itu akan menjadi 2Q1 pada titik B2. Sekarang kurva melewati titik B 1, B 2, dll. Berbaring pada sinar yang berbeda akan menjadi IQ yang diperlukan untuk Q = 2Q 1 .

Dengan cara yang sama, jika perusahaan ingin memiliki IQ untuk Q = 3Qi, maka sepanjang sinar seperti OE dan OF itu harus pindah ke poin A 3, B 3, dll. Sehingga OA 3 = 3. OA 1, OB 3 = 3. OB 1 dan seterusnya. Akibatnya, jumlah input dan jumlah output juga akan meningkat dengan faktor 3. Oleh karena itu, kurva yang melewati titik A3, B3, dll. Akan menjadi IQ yang diperlukan untuk Q = 3Q 1 .

Oleh karena itu, jika fungsi produksi linier homogen, dan perusahaan mengetahui salah satu IQ-nya untuk Q = Q 1 (katakanlah), maka ia akan dapat memperoleh IQ untuk Q = tQ 1 di mana t adalah bilangan real positif . Karenanya, Properti V didirikan.

 

Tinggalkan Komentar Anda