Fungsi Produksi Homogen | Ekonomi

Suatu fungsi dikatakan homogen dari derajat n jika perkalian semua variabel independen dengan konstanta yang sama, katakanlah λ, menghasilkan perkalian variabel dependen dengan λn. Demikian fungsinya

Y = X2 + Z2

adalah homogen dari derajat 2 sejak itu

(λX) 2 + (λZ) 2 = λ2 (X2 + Y2) = λ2Y

Suatu fungsi yang homogen dari derajat 1 dikatakan homogen linier, atau untuk menampilkan homogenitas linier. Fungsi produksi yang homogen pada derajat 1 menampilkan skala pengembalian konstan karena penggandaan semua input akan menghasilkan penggandaan output yang tepat. Jadi, jenis fungsi produksi ini menunjukkan skala hasil konstan untuk seluruh rentang output. Secara umum, jika fungsi produksi Q = f (K, L) adalah linier homogen, maka

F (λK, λL) = λf (K, L) = λQ

untuk setiap kombinasi tenaga kerja dan modal dan untuk semua nilai λ. Jika λ sama dengan 3, maka tiga kali lipat dari input akan menyebabkan tiga kali lipat dari output.

Ada berbagai contoh fungsi homogen linier.

Dua contohnya adalah sebagai berikut:

Q = aK + bL

dan Q = A Kα L1-α 0 <α <1

Contoh kedua dikenal sebagai fungsi produksi Cobb-Douglas. Untuk melihat bahwa, memang, homogen dari tingkat satu, anggaplah bahwa perusahaan awalnya memproduksi Q 0 dengan input K 0 dan L 0 dan kemudian menggandakan kerja modal dan tenaga kerja.

Output yang dihasilkan akan sama:

Ini menunjukkan bahwa fungsi produksi Cobb-Douglas adalah linear homogen.

Properti:

Ada berbagai sifat menarik fungsi produksi yang homogen secara linier. Pertama, kita dapat mengekspresikan fungsi, Q = f (K, L) di salah satu dari dua bentuk alternatif.

(1) Q = Kg (L / K) atau,

(2) Q = Lh (K / L)

Properti ini sering digunakan untuk menunjukkan bahwa produk marginal dari tenaga kerja dan modal hanya berfungsi dari rasio modal-tenaga kerja.

Secara khusus, produk marginal adalah sebagai berikut:

MP k = g (L / K) - (L / K) g '(L / K)

dan MP L = g '(L / K)

di mana g '(L, K) menunjukkan turunan dari g (L / K). Signifikansi ini adalah bahwa produk marginal dari input tidak berubah dengan peningkatan proporsional pada kedua input. Karena tingkat marginal substitusi teknis sama dengan rasio produk marjinal, ini berarti bahwa MRTS tidak berubah sepanjang sinar melalui titik asal, yang memiliki rasio modal-tenaga kerja yang konstan. Karena MRTS adalah kemiringan isokuan, fungsi produksi yang homogen secara linier menghasilkan isokuan yang sejajar sepanjang sinar melalui titik asal.

Jalur Ekspansi:

Jika perusahaan menggunakan fungsi produksi yang homogen secara linier, jalur ekspansi akan menjadi garis lurus. Untuk memverifikasi hal ini, mari kita mulai dari titik awal minimalisasi biaya pada Gambar.12, dengan output 10 unit dan lapangan kerja (penggunaan) 10 unit tenaga kerja dan 5 unit modal. Sekarang, misalkan, perusahaan ingin memperluas outputnya menjadi 15 unit. Karena harga input tidak berubah, kemiringan isokuan baru harus sama dengan kemiringan harga semula.

Tetapi, kemiringan isokuan adalah MRTS, yang konstan sepanjang sinar dari asal untuk fungsi produksi yang homogen secara linier. Akibatnya, biaya meminimalkan rasio modal-tenaga kerja akan tetap konstan. Karena output telah meningkat sebesar 50%, input juga akan meningkat sebesar 50% dari 10 unit tenaga kerja menjadi 15 dan dari 5 unit modal menjadi 7, 5. Dengan demikian, jalur ekspansi adalah garis lurus.

Fungsi produksi dapat mengambil banyak bentuk khusus. Biasanya para ekonom dan peneliti bekerja dengan fungsi produksi yang homogen. Suatu fungsi dikatakan homogen derajat n jika penggandaan semua variabel independen dengan konstanta yang sama, katakanlah λ, menghasilkan penggandaan variabel independen oleh λn. Jadi, fungsinya:

Q = K2 + L2

adalah homogen dari derajat 2 sejak itu

(λK) 2 + (λ L) 2 = λ2 (K2 + L2) = λ2Q

Suatu fungsi yang homogen dari derajat 1 dikatakan homogen linier, atau untuk menampilkan homogenitas linier. Fungsi produksi yang homogen pada derajat 1 menampilkan skala pengembalian konstan karena penggandaan semua input akan menghasilkan penggandaan output.

Fungsi produksi adalah homogen dari derajat n jika ketika input dikalikan dengan konstanta, katakanlah, α, output yang dihasilkan adalah kelipatan dari a2 kali output asli.

Yaitu, untuk fungsi produksi:

Q = f (K, L)

maka jika dan hanya jika

Q = f (αK, αL) = αnf (K, L)

adalah fungsinya homogen. Eksponen, n, menunjukkan tingkat homogenitas. Jika n = 1 fungsi produksi dikatakan homogen derajat satu atau linear homogen (ini tidak berarti bahwa persamaannya linear). Fungsi produksi yang homogen secara linear menarik karena menunjukkan CRS.

Ini mudah dilihat karena ekspresi αn. f (K, L) ketika n = 1 berkurang menjadi α. (K, L) sehingga mengalikan input dengan konstanta hanya meningkatkan output dengan proporsi yang sama. Contoh fungsi produksi yang homogen secara linier adalah fungsi produksi Cobb-Douglas dan fungsi produksi substitusi elastisitas konstan (CES). Jika n> 1, fungsi produksi menunjukkan IRS. Jika n <1 DRS menang.

Fungsi Produksi Cobb-Douglas:

Ekonom pada waktu yang berbeda memeriksa banyak fungsi produksi aktual dan fungsi produksi yang terkenal adalah fungsi produksi Cobb-Douglas. Fungsi semacam itu adalah persamaan yang menunjukkan hubungan antara input dari dua faktor (K dan L) ke dalam proses produksi, dan tingkat output (Q), di mana elastisitas substitusi antara dua faktor sama dengan satu.

Sebagaimana diterapkan pada produksi manufaktur, fungsi produksi ini, secara kasar, menyatakan bahwa tenaga kerja menyumbang sekitar tiga perempat dari peningkatan produksi manufaktur dan modal sisanya seperempat.

Misalkan, fungsi produksi adalah dari jenis berikut:

Q = AKα Lβ

di mana Q adalah output, A adalah konstan, K adalah input modal, L adalah input tenaga kerja dan a dan (3 adalah eksponen dari fungsi produksi. Ini dikenal sebagai fungsi produksi Cobb-Douglas. Ia memiliki properti penting.

Jumlah dari dua eksponen menunjukkan pengembalian ke skala:

(i) Jika α + β> 1, fungsi produksi menunjukkan peningkatan skala hasil,

(ii) Jika α + β = 1, ada skala pengembalian konstan,

(iii) Akhirnya, jika α + β <1, ada penurunan skala.

Misalkan, produksi adalah dari jenis berikut:

Q = AK0. + 75 L0.25

Ini menunjukkan skala pengembalian konstan karena α = 0, 75 dan β = 0, 25 dan α + β = 1.

 

Tinggalkan Komentar Anda