Pemrograman Linier (Dijelaskan Dengan Diagram)

I. Catatan Umum:

Pemrograman linier adalah teknik yang baru-baru ini dirancang untuk menyediakan solusi numerik spesifik dari masalah yang sebelumnya dapat diselesaikan hanya dalam istilah kualitatif yang tidak jelas dengan menggunakan alat teori umum perusahaan.

Dengan demikian pemrograman linier telah membantu menjembatani kesenjangan antara teori ekonomi abstrak dan pengambilan keputusan manajerial dalam praktiknya.

Penggunaan pemrograman linier berkembang cepat karena penggunaan komputer yang dapat dengan cepat memecahkan masalah kompleks yang melibatkan penggunaan optimal dari banyak sumber daya yang diberikan kepada perusahaan dalam waktu tertentu dan dengan demikian menetapkan kendala pada pilihan perusahaan. Pemrograman linier dapat dianggap sebagai menyediakan metode operasional untuk berurusan dengan hubungan ekonomi, yang melibatkan diskontinuitas. Ini adalah pendekatan spesifik dalam kerangka umum teori ekonomi.

Persamaan dan perbedaan utama antara analisis ekonomi tradisional dan pemrograman linier dapat diuraikan sebagai berikut. Kedua pendekatan menunjukkan bagaimana agen ekonomi (konsumen atau produsen) mencapai pilihan optimal, bagaimana mereka melakukan perencanaan atau pemrograman mereka untuk mencapai utilitas maksimum, laba maksimum, biaya minimum, dll. Baik teori ekonomi maupun pemrograman linier tidak mengatakan apa pun tentang implementasi rencana atau solusi optimal.

Mereka hanya mendapatkan solusi optimal dalam situasi tertentu. Dalam hal ini kedua pendekatan adalah metode ex ante yang bertujuan membantu unit ekonomi untuk menemukan solusi yang mencapai tujuannya (maksimisasi utilitas, maksimisasi laba, minimalisasi biaya) dengan sumber daya mereka (pemasukan atau input faktor) pada waktu tertentu.

Namun, dalam teori ekonomi solusi optimal biasanya ditunjukkan dalam istilah abstrak kualitatif, diagram, atau simbol matematika umum, sementara pemrograman linier menghasilkan solusi numerik spesifik untuk masalah optimasi tertentu.

Perbedaan lain antara analisis ekonomi dan pemrograman linier adalah bahwa hubungan teori ekonomi biasanya non-linear, digambarkan oleh kurva (bukan garis lurus), sedangkan dalam pemrograman linier semua hubungan antara variabel yang terlibat diasumsikan linier.

Metode pemrograman non-linear baru-baru ini telah dikembangkan, tetapi eksposisi mereka melibatkan matematika canggih dan tidak akan dicoba di sini. Kami akan mengilustrasikan penggunaan pemrograman linier dengan contoh sederhana dari perusahaan yang memiliki jumlah tiga faktor produksi tertentu yang dapat digunakannya menghasilkan dua komoditas, x dan y. Masalah perusahaan, mengingat sumber dayanya, adalah memilih bauran produk optimal yang memaksimalkan keuntungan perusahaan.

II Pernyataan Masalah Pemrograman Linear:

Asumsikan bahwa perusahaan memiliki jumlah faktor produksi sebagai berikut

L = 400 unit tenaga kerja (jam)

K = 300 unit modal (jam mesin)

S = 1000 unit tanah (kaki persegi)

Perusahaan dapat memproduksi komoditas x atau komoditas y dengan proses (kegiatan) yang tersedia berikut ini

Dengan kata lain, produksi satu unit x membutuhkan 4 jam kerja, 1 jam mesin, dan 2 kaki persegi tanah. Demikian pula, produksi satu unit y membutuhkan 1 jam kerja, 1 jam mesin, dan 5 kaki persegi tanah. Komoditas x menghasilkan laba unit sebesar £ 2, dan komoditas y menghasilkan laba unit sebesar £ 1, 5. Tujuan perusahaan adalah memilih bauran produk yang optimal, yaitu bauran yang memaksimalkan total laba.

Fungsi total laba dapat ditulis sebagai berikut:

Z = 2X + 1 Y

di mana Z = total laba

X = jumlah komoditas x (atau tingkat Kegiatan A 1 )

Y = jumlah komoditas y (atau tingkat Kegiatan A 2 )

2 dan 1 adalah keuntungan unit dari dua komoditas. Fungsi laba total disebut fungsi objektif, karena itu menyatakan tujuan perusahaan, yang dalam contoh khusus kami adalah maksimalisasi laba. Secara umum, fungsi objektif adalah fungsi yang mewakili tujuan agen ekonomi.

Perusahaan, dalam mengejar maksimalisasi fungsi objektifnya, memiliki beberapa kendala. Kami membedakan dua kelompok kendala, kendala teknis (atau fungsional), dan kendala non-negatif. Kendala teknis ditentukan oleh keadaan teknologi dan ketersediaan faktor produksi.

Ada banyak kendala teknis sebagai faktor produksi. Mereka mengungkapkan fakta bahwa jumlah faktor yang akan diserap dalam produksi komoditas tidak dapat melebihi jumlah yang tersedia dari faktor-faktor ini. Dengan demikian kendala teknologi mengambil bentuk ketidaksetaraan.

Dalam contoh kami kendala teknis adalah tiga berikut:

4X + 1 Y <400

1x + 1Y <300

2X + 5Y <1000

di mana X dan Y adalah tingkat komoditas x dan y (tingkat pemanfaatan kegiatan A 1 dan A 2 ) dan bilangan bulat di sisi kiri adalah koefisien teknis produksi, yaitu faktor input yang diperlukan untuk produksi satu unit produk x dan y. Angka-angka di sisi kanan adalah sumber daya yang dimiliki oleh perusahaan dalam hal disposisi. Batasan ketimpangan ini menyatakan bahwa level X dan Y dalam bauran produk optima seharusnya tidak memerlukan lebih dari jumlah yang tersedia dari ketiga sumber daya.

Kendala non-negatif menyatakan perlunya tingkat produksi komoditas tidak boleh negatif, karena jumlah negatif tidak masuk akal dalam ekonomi. Tingkat produksi salah satu komoditas bisa nol atau positif

X> 0

y> 0

Dengan informasi di atas, masalah pemrograman linier dapat dinyatakan secara formal sebagai berikut:

Perhatikan bahwa semua kendala berupa ketidaksetaraan. Dengan demikian sistem tidak dapat diselesaikan dengan metode biasa dari solusi persamaan simultan. Teknik pemrograman linier telah dirancang untuk menangani solusi dari masalah yang melibatkan ketidaksetaraan. Pendekatan dasarnya adalah bahwa dari iterasi solusi optimal didefinisikan dengan memeriksa sekumpulan solusi alternatif yang mungkin dan menghilangkan secara bertahap solusi optimal hingga optimal tercapai.

AKU AKU AKU. Penentuan Solusi Optimal:

Solusi optimal ditemukan oleh titik singgung dari perbatasan wilayah solusi layak dengan kurva isoprofit setinggi mungkin. Solusi optimal akan menjadi titik di perbatasan wilayah dari semua solusi yang layak, karena setiap titik di dalam wilayah ini terletak pada garis isoprofit yang lebih rendah. Jelas bahwa solusi optimal tergantung pada kemiringan garis isoprofit, yaitu, pada rasio unit untung dari kedua komoditas. Dalam contoh kita, solusi optimal adalah titik G pada gambar 20.7.

Pada titik ini bauran produk adalah 178 unit y dan 56 unit x, dan jumlah laba maksimum hingga £ 290, sebagaimana dapat diverifikasi dari fungsi laba

Z = 2X + 1Y = 2 (56) + 1 (178) = 290

Jika kemiringan garis isoprofit sama dengan kemiringan salah satu garis batas yang menentukan wilayah solusi yang layak, tidak ada solusi optimal yang unik untuk masalah pemrograman linier. Misalnya, jika π x / π y = l x / l y (= kemiringan AB yang merupakan batas untuk faktor 'tenaga kerja' semua titik pada segmen GB akan menjadi solusi optimal.

Demikian pula, jika π x / π y - s x / s y (= kemiringan EF yang merupakan batas untuk faktor 'tanah') semua poin pada segmen EG dari batas kemungkinan produksi akan menjadi solusi optimal. Dari pembahasan di atas harus jelas bahwa solusi optimal yang unik ada jika kemiringan garis yang mewakili fungsi tujuan memiliki nilai yang berada dalam rentang yang ditetapkan oleh kemiringan garis batas yang menunjukkan batasan teknis dari masalah pemrograman linier.

Kami dapat menggeneralisasi prosedur di atas untuk menentukan solusi optimal sebagai berikut:

Langkah 1:

Tuliskan ketimpangan teknis dalam bentuk persamaan dan pecahkan untuk Y

l 1 x + / l 2 y = L

k 1 X + k 2 Y = K

s 1 X + s 2 Y = S

Memecahkan persamaan ini untuk Y kita memperoleh persamaan dari tiga garis batas:

Persamaan batas L adalah

Kemiringan batas L adalah

∂Y / ∂X = - l 1 / l 2

Kita dapat menggambar batas L dengan menetapkan berbagai nilai ke X dan memplot poin yang dihasilkan pada grafik. (Nilai L diberikan.)

Persamaan batas K adalah

Kemiringan batas K adalah

∂Y / ∂X = - k 1 / k 2

Kita dapat menggambar batas K dengan menetapkan berbagai nilai ke X (diberi nilai K) dan memplot poin yang dihasilkan pada grafik.

Persamaan batas S adalah

Kemiringan batas S adalah

∂Y / ∂X = - s 1 / s 2

Kita dapat menggambar batas S dengan menetapkan nilai yang berbeda ke X (mengingat jumlah S) dan memplot poin yang dihasilkan pada grafik.

Langkah 2:

Tentukan wilayah solusi yang layak. Ini adalah area di dalam semua batas yang ditentukan oleh batasan teknis. Hanya bagian-bagian dari area di bawah garis batas individu yang bertepatan, ketika berbagai grafik (Langkah 1) digabungkan, memenuhi semua kendala.

Langkah 3:

Tentukan garis isoprofit dengan menyelesaikan persamaan laba untuk Y

Himpunan garis isoprofit dapat ditarik dengan menetapkan nilai yang berbeda untuk Z dan ke X.

Langkah 4:

Tetapkan solusi optimal dengan membandingkan kemiringan garis isoprofit dengan kemiringan garis batas yang menentukan wilayah solusi yang layak. Karena semua garis memiliki kemiringan negatif, kita dapat mengabaikan tanda-tanda mereka ketika melakukan perbandingan. Dalam contoh kami, hanya dua garis batas yang menentukan wilayah solusi yang layak. (Faktor K tidak menetapkan batas untuk pilihan perusahaan, mengingat faktor lain L dan S.)

Kemiringan garis batas kita simpulkan bahwa ada solusi unik, dan bahwa solusi optimal ini ditentukan oleh perpotongan dua garis batas yang menentukan wilayah solusi yang layak.

IV. Metode Simpleks:

Ketika variabel yang nilainya harus ditentukan dari metode pemrograman linier lebih dari dua, solusi grafisnya sulit atau tidak mungkin karena kita memerlukan diagram multidimensi. Metode berulang berikut untuk mencapai solusi optimal, yang disebut metode simpleks, dapat digunakan.

Kami akan menggambarkan metode simpleks dengan menggunakan contoh berikut.

Asumsikan bahwa suatu perusahaan dapat menghasilkan lima komoditas, x 1, x 2, …, x 5, dengan tiga faktor produksi F 1, F 2, F 3 .

Jumlah faktor yang tersedia adalah:

F 1 = 100 unit tenaga kerja

F 2 = 80 unit modal

F 3 = 150 unit tanah

Metode produksi yang dikenal (proses atau kegiatan) untuk setiap produk adalah

Perusahaan ingin memilih bauran produk yang memaksimalkan total laba z. Mari kita tunjukkan tingkat produksi dari lima komoditas dengan huruf kapital X dengan subskrip yang sesuai.

Dengan informasi di atas kita dapat menyatakan masalah pemrograman linear secara formal sebagai berikut:

Mengganti informasi teknis dari contoh kita:

Untuk mengatasi kesulitan yang diciptakan oleh ketidaksetaraan dalam kendala, kami mentransformasikan kendala teknis menjadi persamaan dengan memperkenalkan masing-masing variabel, yang disebut 'variabel kendur \ yang akan menunjukkan unit yang tidak digunakan dari faktor produksi yang sesuai. Jelas akan ada banyak variabel kendur karena ada faktor-faktor produksi. Diasumsikan bahwa faktor-faktor yang tidak digunakan tidak memiliki profitabilitas (baik untung maupun rugi).

Dengan diperkenalkannya variabel slack kendala menjadi:

Sebuah. Prosedur Berulang

Iterasi I:

Kami mulai dari salah satu solusi yang layak, menemukan keuntungannya dan mempertimbangkan apakah itu menghasilkan laba maksimum dibandingkan dengan solusi layak lainnya. Tingkat output dan faktor-faktor yang tidak digunakan dalam satu solusi membentuk dasar. Cara termudah untuk memulai iterasi adalah mulai dari dasar yang menunjukkan nol produksi, yaitu mencakup tiga aktivitas kendur dengan nilai yang sama dengan jumlah yang tersedia dari tiga faktor produksi, karena tanpa produksi semua faktor tidak digunakan. . Dengan demikian solusi awal (Basis I) adalah asal, di mana semua tingkat output adalah nol

X 1 = X 2 = X 3 = X 4 = X 5 = 0

dan semua input menganggur, sehingga

S 1 = F 1 = 100

5 2 = F 2 = 80

5 3 = F 3 = 150

Ini adalah solusi yang layak, karena semua kendala terpenuhi. Jelas itu tidak optimal, karena untung nol jika tidak ada produksi

Z = 2 (0) + 2 (0) + 3 (0) + 4 (0) + 6 (0) 4 0 (S 1 ) + 0 (S 2 ) + 0 (S 3 ) = 0

Sebelum kami melanjutkan untuk menemukan solusi layak yang lebih baik, kami akan menyajikan solusi pertama (Dasar I) dalam tabel (tabel 20.1).

Pada kolom pertama kami menunjukkan kegiatan yang termasuk dalam solusi (Basis), yang sedang diperiksa, dan tingkat pemanfaatannya. Dasar I meliputi aktivitas kendur S 1, S 2, S 3, dan tingkat pemanfaatannya sama dengan faktor produksi yang tidak digunakan, 100 unit f1, 80 unit f2 dan 150 unit f3.

Dalam kolom dari lima kegiatan produktif kami memasukkan input dari tiga faktor produksi yang diperlukan untuk produksi satu unit komoditas terkait.

Dalam kolom aktivitas slack, kami menyisipkan kesatuan untuk faktor produksi yang sesuai, dan nol untuk semua faktor lainnya.

Pada baris terakhir dari tabel kita memasukkan total laba (Z) dari Basis dan unit laba dari kegiatan dengan tanda negatif. Baris ini (yang akan kita sebut 'baris profitabilitas') sangat penting dalam prosedur berulang metode simpleks, karena ini menunjukkan aktivitas mana yang paling menguntungkan yang harus diperkenalkan dalam iterasi berikutnya. Ketika semua elemen di baris ini menjadi positif atau nol, kami menghentikan iterasi.

Elemen positif dalam 'baris profitabilitas' menunjukkan bahwa pengenalan kegiatan yang sesuai dalam Basis akan menyebabkan penurunan total laba. Nol elemen dalam 'baris profitabilitas' (dalam kolom kegiatan produktif A 1, …, A 5 ) menyiratkan bahwa ada solusi optimal lainnya yang menghasilkan total laba yang sama. Jadi ketika elemen-elemen dari 'baris profitabilitas' (dari kolom kegiatan produktif) adalah positif atau nol kita menghentikan (biasanya) iterasi sejak solusi optimal telah tercapai.

Iterasi II:

Kita harus menemukan aktivitas yang masuk dan aktivitas keluar, yaitu aktivitas yang harus kita perkenalkan di Dasar dan yang akan diganti.

Sebagai aktivitas yang masuk, kami memilih satu dengan unit untung tertinggi, yaitu aktivitas dengan elemen negatif terbesar di 'baris profitabilitas'. Dalam contoh kita, aktivitas yang paling menguntungkan adalah A 5 .

Aktivitas keluar ditemukan dengan membagi setiap tingkat aktivitas dalam Basis pertama (F 1, F 2, dan F 3 dalam contoh kami) dengan koefisien input yang relevan dari aktivitas yang masuk, dan memilih untuk mengganti aktivitas dari Basis lama yang mana rasionya adalah yang terkecil. Dalam contoh kita miliki

Rasio terkecil adalah F 2 / k 5, maka aktivitas keluar adalah S 2 . Dasar baru akan mencakup kegiatan S 1, A 5 dan S 3 . Kami mengganti aktivitas kendur yang rasionya paling kecil, karena sumber daya yang sesuai akan menjadi yang pertama habis ketika kami memperluas produksi komoditas x 5 (dihasilkan oleh aktivitas yang masuk).

Langkah selanjutnya adalah menemukan elemen-elemen dari tabel iterasi baru.

Langkah-langkah berikut terlibat dalam proses ini:

1. Kami mendefinisikan elemen pivot, yang merupakan elemen di persimpangan aktivitas masuk dan keluar. Dalam contoh kita elemen pivot adalah 2, di persimpangan A 5 dan S 2 .

2. Kami menemukan elemen-elemen dari baris pivot, yaitu, baris yang akan ditempati oleh aktivitas yang masuk, menggantikan aktivitas yang keluar. Elemen-elemen dari baris pivot ditemukan dengan membagi elemen-elemen dari baris asli (dari aktivitas keluar) dengan elemen pivot (2 dalam contoh kita). Elemen-elemen dari baris pivot adalah elemen-elemen dari aktivitas yang masuk (A 5 ) dalam tabel iterasi baru.

Dalam contoh kami, elemen-elemen dari baris pivot adalah:

3. Elemen lain dalam tabel iterasi kedua b i ditemukan dengan mengurangi dari elemen asli yang sesuai a, (dalam tabel iterasi pertama) produk elemen dari baris pivot yang berada di kolom yang sama dengan, dikalikan dengan elemen aktivitas masuk yang berada di baris yang sama dengan i .

Perhitungannya ditunjukkan pada tabel 20.2. Data penting yang diperlukan pada tahap ini adalah elemen-elemen dari baris pivot (b 10, b 1 1 …, b 18 ) dan elemen-elemen kolom dari aktivitas yang keluar (a 6 = 2, 15 = 2, a 24 = 2).

Elemen-elemen dari baris pertama dan ketiga dari tabel iterasi kedua adalah:

4. Total laba dari solusi baru (Z ll ) ditemukan dengan mengalikan tingkat kegiatan di Dasar ini dengan keuntungan unit mereka

Z II = π 6 (S 1 ) + π 5 (/ A 5 ) + π 8 (S 3 ) = (20) (0) + (40) (6) + (70) (0) = 240

5. Unsur-unsur 'baris profitabilitas' diperkirakan dengan cara yang sama dengan elemen lain dari tabel iterasi kedua. Yaitu, dari 'elemen profitabilitas' awal kami mengurangi produk elemen baris pivot (yang berada di kolom yang sama dengan π iI ) dikalikan dengan 'elemen profitabilitas' dari aktivitas yang masuk

Kami sekarang telah menyelesaikan perhitungan elemen-elemen dari iterasi kedua. Hasilnya ditunjukkan pada tabel 20.3.

S 1 = 20 A 5 = 40 S 3 = 70

Jelas bahwa Basis kedua lebih baik daripada solusi awal, karena menghasilkan total keuntungan 240 unit moneter. Namun, selama elemen negatif muncul di baris terakhir dari tabel iterasi, kami dapat lebih meningkatkan solusi kami (meningkatkan laba) dengan memperkenalkan ke dalam dasar kegiatan yang memiliki 'elemen profitabilitas' negatif terbesar.

Dalam contoh aktivitas kami, 2 yang menghasilkan komoditas x 2 akan menjadi aktivitas yang masuk dalam solusi baru (Basis III). Aktivitas keluar ditentukan dengan cara yang sama seperti pada iterasi sebelumnya. Yaitu, kami membagi aktivitas kendur di Basis II dengan elemen yang sesuai di kolom aktivitas masuk (A 2 ) dan kami drop out aktivitas dengan rasio terkecil. Dalam contoh kita miliki

20/2 = 10 dan 70/1 = 70

Sejak (20/2) <(70/1) aktivitas keluar pada iterasi ini adalah 5, . (Tabel 20.4.)

Sebelum kita melanjutkan dengan perhitungan iterasi ketiga, ada baiknya untuk menunjukkan implikasi dari kriteria simpleks. Kriteria ini berfungsi dalam menentukan apakah solusi optimal telah tercapai, atau apakah peningkatan lebih lanjut dapat dicapai dengan iterasi tambahan.

Kriteria simpleks dapat diringkas dalam proposisi berikut:

Jika satu atau lebih elemen dalam 'baris profitabilitas' negatif, perbaikan lebih lanjut dari solusi dimungkinkan, dan iterasi harus dilanjutkan, kecuali semua elemen dari aktivitas yang masuk positif atau nol. Dalam hal ini kami menyimpulkan bahwa masalahnya tidak memiliki solusi atau belum dinyatakan dengan benar.

Jika semua elemen dalam 'baris profitabilitas' positif atau nol, Dasar dalam tabel ini adalah solusi optimal, dan iterasi lebih lanjut (biasanya) tidak diperlukan. Dimasukkannya dalam Dasar kegiatan dengan 'elemen profitabilitas' positif mengurangi total laba perusahaan, dan karenanya kegiatan tersebut tidak boleh dianggap sebagai sarana untuk meningkatkan solusi.

Jika beberapa kegiatan produktif tidak memiliki 'elemen profitabilitas' di tabel akhir, ada lebih dari satu solusi optimal. Jika kami memperkenalkan dalam Basis suatu kegiatan dengan nol 'profitabilitas', total laba tidak terpengaruh.

Iterasi III:

Baris terakhir dari tabel iterasi kedua berisi elemen negatif dan karenanya solusinya dapat ditingkatkan. Aktivitas yang masuk adalah aktivitas dengan 'elemen profitabilitas' negatif terbesar (A 2 dalam contoh kami), dan aktivitas keluar adalah S 1 yang memiliki rasio terkecil (S 1/2 = level S 1 dalam Basis II dibagi dengan elemen yang sesuai dari kolom aktivitas yang masuk).

Setelah menetapkan aktivitas masuk dan keluar, kami mengulangi perhitungan iterasi kedua:

1. Elemen pivot adalah 2, ditentukan oleh persimpangan dari aktivitas masuk dan keluar.

2. Elemen-elemen dari 'pivot row' didefinisikan oleh pembagian elemen-elemen dari aktivitas keluar ke dalam elemen pivot. Mereka

20/2 = 10, 0/2 = 0, 2/2 = 1, 0/2 = 0, 1/2, 0/2 = 0, 1/2, -1/2, 0/2 = 0

3. Elemen yang tersisa (c i ) dari tabel iterasi ketiga ditemukan dengan mengurangi dari elemen yang sesuai dari tabel iterasi kedua (b i ) produk dari elemen 'baris pivot' (yang berada di kolom yang sama dengan b i ) kali elemen aktivitas masuk (yang berada di baris yang sama dengan b i ).

Nilai dari elemen iterasi ketiga adalah:

4. Total laba dari Basis III ditemukan dengan menambahkan produk dari tingkat kegiatan yang termasuk dalam basis ini dikalikan dengan laba unit yang sesuai (sebagaimana diberikan dalam fungsi tujuan)

Z III = (10) (2) + (40) (6) + (60) (0) = 260

Ini lebih tinggi daripada keuntungan dari solusi sebelumnya (Z II = 240).

5. Elemen-elemen 'baris profitabilitas' dari iterasi ketiga dihitung seperti pada iterasi kedua

Dengan demikian, kami telah menyelesaikan perhitungan elemen-elemen dari Basis ketiga. Hasilnya ditunjukkan pada tabel 20.5.

Dengan menggunakan proposisi kriteria simpleks, kami amati yang berikut ini. Semua elemen di baris terakhir ('baris profitabilitas') adalah positif atau nol. Ini menyiratkan bahwa tabel ini mengandung solusi optimal.

Aktivitas Basis ini adalah:

A 2 = 10 unit komoditas x 2

A 5 - 40 unit komoditas x 5

S 3 = 60 unit faktor yang tidak digunakan F 3

Total keuntungan dari solusi optimal ini adalah 260 unit moneter. Mengingat bahwa ada nol di baris terakhir (dan di kolom kegiatan produktif), kami menyimpulkan bahwa solusi di atas tidak unik. Artinya, ada solusi optimal lainnya (yang mencakup kegiatan produktif dengan nol 'elemen profitabilitas'). Alternatif solusi optimal ini tentu saja menghasilkan laba total yang sama. Karena kami telah menemukan solusi optimal, kami tidak akan melanjutkan dengan iterasi lebih lanjut. Namun, ada beberapa kasus di mana lokasi solusi optimal tambahan mungkin berguna.

V. Masalah Ganda dan Harga Bayangan:

Masalah dasar yang solusinya dicoba dengan teknik pemrograman linier disebut masalah primal. Untuk setiap masalah primal sesuai dengan masalah ganda, yang menghasilkan informasi tambahan kepada pembuat keputusan. Sifat masalah ganda tergantung pada masalah primal. Jika masalah primal adalah masalah maksimalisasi, dualnya adalah masalah minimisasi. Demikian pula, jika primal adalah masalah minimalisasi, dual adalah masalah maksimalisasi.

Pemeriksaan terperinci atas masalah ganda berada di luar cakupan buku ini. Kami akan berkonsentrasi di sini pada masalah ganda dari contoh sebelumnya kami yaitu memaksimalkan laba. Masalah ganda dalam kasus ini adalah salah satu dari minimalisasi biaya, dan dari solusinya kami menurunkan harga bayangan dari faktor-faktor produksi yang digunakan oleh perusahaan.

Masalah ganda dapat diselesaikan secara independen dari asalnya dengan prosedur yang mirip dengan yang dijelaskan di atas. Namun, nilai-nilai yang diperoleh dari solusi dual juga diperoleh sebagai produk sampingan dari iterasi terakhir primal, yang menghasilkan solusi optimal.

Dalam contoh kami harga bayangan dari tiga faktor produksi adalah unsur-unsur yang muncul dalam tiga sel terakhir dari baris 'rentabilitas' dari tabel 20.5.) Jika solusi optimal berisi aktivitas kendur yang menunjukkan bahwa sejumlah faktor yang sesuai tetap menganggur., faktor ini memiliki harga bayangan sama dengan nol.

Jika faktor sepenuhnya digunakan, harga bayangannya positif. Dalam contoh kami harga bayangan faktor tenaga kerja (F 1 ) dan faktor modal (F 2 ), yang sepenuhnya digunakan dalam solusi optimal, muncul sebagai positif dan sama dengan masing-masing unit moneter 1 dan 2. Harga bayangan faktor tanah (F 3 ) adalah nol, karena faktor ini tidak sepenuhnya digunakan dalam solusi optimal.

Harga bayangan faktor adalah biaya yang diperhitungkan atau biaya peluang dari faktor untuk perusahaan tertentu. Karena itu mereka adalah indikator penting untuk perluasan perusahaan. Mereka menunjukkan faktor mana yang menjadi penghambat bagi ekspansi lebih lanjut dari perusahaan, karena faktor-faktor ini akan muncul dengan harga bayangan positif (biaya peluang) dalam solusi optimal.

Selanjutnya harga bayangan sumber daya dapat dibandingkan dengan harga pasar mereka dan membantu pengusaha memutuskan apakah menguntungkan untuk menyewa unit tambahan dari faktor-faktor ini. Harga bayangan dari suatu faktor menunjukkan seberapa besar laba perusahaan akan meningkat jika perusahaan mempekerjakan unit tambahan dari faktor ini.

Dalam contoh kita, kita melihat bahwa jika perusahaan mempekerjakan unit kerja tambahan, keuntungannya akan meningkat sebesar 1 unit moneter. Demikian pula, jika perusahaan menggunakan unit modal tambahan, keuntungannya akan naik 2 unit moneter. Tetapi untuk menyewa unit tambahan L dan / atau k perusahaan harus membayar harga pasar mereka (upah atau sewa modal).

Jadi, jika harga bayangan suatu faktor lebih besar dari harga pasarnya, ia akan membayar perusahaan untuk meningkatkan kesempatan kerja dari faktor itu, karena laba bersih perusahaan akan meningkat. Jelas harga bayangan, yang nilainya diperkirakan dari teknik pemrograman linier, sangat penting bagi perusahaan.

 

Tinggalkan Komentar Anda