Maksimalisasi Output dan Minimalisasi Biaya | Teori Produksi

Pada artikel ini kita akan membahas tentang: - 1. Ketentuan untuk Output Maksimum yang tunduk pada Kendala Biaya 2. Ketentuan untuk Biaya Minimum yang tunduk pada Batasan Output.

Ketentuan untuk Output Maksimum dengan Batasan Biaya :

Mari kita anggap bahwa fungsi produksi perusahaan adalah:

q = f (x, y) [eqn. (8.21)]

di mana q adalah jumlah output yang dihasilkan per periode dan x dan y adalah jumlah dari dua input variabel yang digunakan per periode oleh perusahaan. Diasumsikan di sini bahwa turunan parsial orde pertama dan orde kedua dari q wrt x dan y ada.

Mari kita juga mengandaikan bahwa kendala biaya perusahaan adalah:

C ° = r X x + r Y y (8.38)

di mana C ° adalah jumlah uang tetap yang akan dibelanjakan untuk dua input, dan r 1 dan r 2 adalah harga masing-masing input. Kami bermaksud menurunkan di sini kondisi untuk keseimbangan maksimalisasi keluaran dari perusahaan yang tunduk pada batasan biaya.

Dengan maksud untuk melakukan ini, kami akan membentuk fungsi Lagrange:

V = f (x, y) + λ, (C ° - r X x - r Y y) (8.39)

dengan λ adalah pengali Lagrange yang tidak ditentukan.

Di sini V adalah fungsi dari x, y dan λ, dan kondisi orde pertama (FOC) untuk maksimisasi output terbatas akan diperoleh jika kita menetapkan turunan parsial orde pertama dari V wrt x, y dan X sama dengan nol.

Oleh karena itu, FOC adalah:

Kita sudah tahu bahwa (8.43) - (8.46) adalah berbagai bentuk FOC untuk memaksimumkan output output dan kami telah menjelaskan signifikansi ekonomi mereka. Mari kita perhatikan di sini dua hal lagi. Pertama, persamaan (8.42) memastikan bahwa kendala biaya terpenuhi.

Kedua, dari (8, 40) dan (8, 41) kami memiliki:

yaitu, kebalikan dari X memberi kita biaya marjinal output dengan cara apa pun perusahaan meningkatkan outputnya — dengan menggunakan lebih banyak input X atau lebih banyak input Y. Kita sekarang dapat sampai pada kondisi orde kedua (SOC) dari maksimalisasi output .

SOC memberi kita bahwa determinan Hessian yang berbatasan (D) harus lebih besar dari nol pada titik singgung di mana FOC telah dipenuhi:

Untuk memahami pentingnya SOC seperti yang diberikan oleh (8.43), marilah kita mengingat hal-hal berikut:

Turunan dari kemiringan isokuan adalah

= positif (pada titik singgung di mana FOC telah dipenuhi), karena SOC (8, 51) dan karena f y > 0 dengan asumsi MP S dari input menjadi positif. Oleh karena itu, kita telah melihat bahwa SOC menyiratkan bahwa turunan dari kemiringan IQ akan positif, yaitu, IQ akan cembung ke titik asal, pada titik singgung.

Karena setiap titik pada IQ mungkin titik singgung tergantung pada kemiringan garis iso-biaya, SOC sebenarnya menyiratkan bahwa IQ harus cembung ke titik asal sepanjang rentang miring yang relevan negatif di mana MP X, MP Y > 0.

Dapat dicatat di sini bahwa, karena orde kedua atau kondisi yang cukup (8, 51) untuk maksimalisasi output yang dibatasi puas pada setiap titik dalam domain fungsi cekung ketat yang ketat, fungsi produksi (8.21) dari perusahaan harus menjadi fungsi cekung ketat ketat biasa. Hanya dengan demikian kondisi tingkat kedua akan terpenuhi.

Secara kebetulan, kami dapat mencatat bahwa kondisi (8.43) - (8.46) juga merupakan FOC dari minimalisasi output yang tunduk pada kendala biaya. Artinya, output mungkin minimum juga pada titik singgung antara ICL dan IQ.

Namun, dalam hal ini SOC adalah:

Signifikansi kondisi (8, 52) adalah bahwa turunan dari kemiringan IQ akan negatif pada titik singgung, yaitu, IQ akan cekung ke asal. Artinya, jika IQ perusahaan cekung, bukan cembung, ke titik asal, maka pada titik tangensi IQ-ICL, output akan menjadi minimum, dan tidak maksimal.

Ketentuan untuk Biaya Minimum dengan Batasan Keluaran:

Kami sekarang akan menurunkan persyaratan untuk meminimalkan biaya jumlah output tertentu. Mari kita anggap bahwa perusahaan telah memutuskan untuk menghasilkan jumlah tertentu, q °, dari outputnya. Oleh karena itu, perusahaan harus tetap pada isokuan tertentu yang

q ° = f (x, y) (8.53)

Mari kita juga mengandaikan bahwa persamaan biaya perusahaan adalah

C = r X x + r Y y (8.54)

Di sini fungsi Lagrange yang relevan untuk minimisasi biaya terbatas adalah

Z = r X x + r Y y + μ [q ° - f (x, y)] (8.55)

di mana μ adalah pengali Lagrange.

Sekarang, menurut metode Lagrange, FOC untuk minimalisasi biaya yang dibatasi akan menjadi

Atau, h (x, y) = 0 (8.58a)

Kondisi (5, 58) memastikan bahwa kendala pada output terpenuhi.

Sekali lagi, dari (8.56) dan (8.57), kami memperoleh:

Apa yang kami peroleh di sini adalah bahwa FOC dari maksimalisasi output sama dengan yang dari minimisasi biaya.

Mari kita datang ke urutan kedua atau kondisi yang memadai untuk meminimalkan biaya terbatas yang diberikan sebagai penentu perbatasan yang relevan, yang menurut Hessian kurang dari nol;

Karena kondisi (8, 63) sama dengan kondisi (8, 51), SOC untuk minimalisasi biaya identik dengan yang untuk memaksimalkan output.

 

Tinggalkan Komentar Anda